П
4п?=^ ак (11Л0) к = 1
В этом случае можно показать, что дисперсия ожидаемого результирующего темпа прибыли имеет вид
П
Б = s 2 = 2 ак 2 s к 2. (11.11)
к = 1
Задача состоит в том, чтобы найти такие значения коэффициентов распределения капитала ак, чтобы величина (11.11) при выбранном ожидаемом темпе прибыли дцг была наименьшей из всех возможных. Наименьшее значение задаваемой комбинацией (11.11) неопре- делённости темпа прибыли обеспечит минимальность риска не получить на практике темп прибыли, близкий к избранному темпу прибыли дж Точнее, мы сумеем найти минимальное возможное статистическое отклонение от запланированного результата. Оптимальные значения коэффициентов ак при которых форма (11) достигает наименьшего значения, в дальнейшем будем обозначать символом ак*.
Большое количество проектов Начнём наше рассмотрение со случая, когда число проектов, в которые инвестируется капитал, не меньше трёх. Итак, п і 3. Случай п = 2 является особым и будет подробно рассмотрен ниже. При выполнении определённых ограничений (см. ниже неравенства (11.16)) решение поставленной задачи (отыскания наилучших значений коэффициентов ак ) при условии, что зк№ 0для всех значений к от единицы до п, даётся такими формулами (к = 1,..., п):
а* = [ А1 - + дк (дш Б1 - С1) ] /з к2 (Б, А1 - С12). (11.12)
Здесь
вх = х (1/ст/)< 4 = X (як2^к2),
‘-1 *-> (11.13)
= !<?,/^).
* = 1
При этом оптимальная дисперсия В* и оптимальное среднее квадратичное отклонение 5* рассчитываются по формуле
П
В* = (5 *)2 =Х (ак*ок)2. (11.14)
к = 1
Следует отметить, что данная процедура хеджирования оказывается применимой не при любых произвольных значениях величин дк аки дцг Потому что может случиться так, что минимум функции (11), задаваемый формулами (11.12) — (11.14), реализуется вне области значений коэффициентов распределения, имеющих смысл, то есть вне области, определяемой необходимыми естественными неравенствами
0 Jа* Л. (к = 1,..., п) (11.15)
Приведенные формулы (11.12) — (11.14) могут быть использованы для практических расчётов только в том случае, если для всех значений к выполняются такие неравенства:
А1 — д„С1 + дк (дцБ1 — С) > 0 (11.16)
(можно показать, что разность Б1А1 — С12 всегда положительна). Если хотя бы одно из условий (11.15) нарушено, приведенная выше простая схема хеджирования неприменима, и расчёты проводятся по другой схеме, приведенной ниже.
Пример 11.3
Этот пример относится к случаям, когда условия (11.16) выполняются при всех значениях к.
Рассмотрим ситуацию, при которой инвестор намерен вложить определённой величины капитал в три различных предприятия (п = 3),
о которых ему известны некоторые необходимые сведения (все величины дк и як даются в некоторых безразмерных условных единицах). Приведём эти сведения.
Вложив весь капитал в первое предприятие, можно получить темп прибыли дх = 6 при среднем квадратичном отклонении от ожидаемого результата ^ = 1 (то есть на практике наиболее вероятная прибыль ожидается в области где-то от трёх до семи единиц).
Вложив весь капитал во второе предприятие, предприниматель имеет соответственно д2 = 8и 52 = 4. Если же весь капитал вкладывается в третье предприятие, то ожидается д3 = 10 и я3 = 5.
Как видим, чем большую прибыль сулит предприятие, тем меньше его надёжность. Это вполне естественно. Будем полагать, что предприниматель согласен ограничиться умеренной прибылью при умеренном риске. Пусть, например, предприниматель хочет получить темп прибыли д№ = 8 (или близкий к этому значению). Такой результат вполне можно было бы получить, инвестировав весь капитал во второе предприятие. При этом риск данной операции характеризовался бы величиной среднего квадратичного отклонения 5 = 4. Однако предприниматель намерен уменьшить риск. Для этого он проводит хеджирование
» следующая страница »
1 ... 160 161 162 163 164 165166 167 168 169 170 ... 211