Маркетинговые исследования

 

(8)

   

 

(У - х) Я(у) - Ь > 0 .

В дальнейшем будем считать, что ситуация на рынке благоприятна и область цен, где удовлетворяется условие прибыльности (5), существуем Это означает, что функции В0₀, у) , О(у) и С(у) имеют в этой области, по крайней мере, один максимум. Будем здесь считать, что данный максимум - единственный (для этого требуется, чтобы кривая Я(у) имела менее двух точек перегиба). Функция

(у) всегда положительна и также имеет максимум.

Из формулы (1) следует, что заключительная прибыль В0₀, у) достигает максимума при некоторой цене у_В* , являющейся корнем следующего уравнения (см.(4.15)):

Темп выручки

(у) , задаваемый формулой (4), достигает максимума при некоторой цене у

*, являющейся корнем уравнения (см. (4.17))

у^ЯШ + Я(у) = 0. ёу

Цена у

* является оптимальной в том случае, когда фирма в силу определённых причин настроена максимизировать темп выручки (среднюю ежедневную выручку).

Докажем следующую теорему:

При наложенных выше условиях на вид функции Я(у) и при выполнении условия прибыльности (5) реализуется следующая иерархия оптимальных цен:

У,* > Ус * > У_а * > у,* •

Для удобства сравнения перепишем уравнения (6) - (9) в таком виде:

(6*)

(7*)

(7**)

(8*)

(9*)

Из приведенных здесь выражений и неравенства (5) видно, что правая часть уравнения (7*) меньше правой части уравнения (6*); правая часть уравнения (9*) меньше правой части уравнения (8*), а та, в свою очередь, меньше правой части уравнения (7**). Решим графически уравнения (6*) - (9*). В качественном виде получение решений показано на рис. 1. Здесь кривая-А изображает функцию (- йЯ/йу); кривая-Б - правую часть уравнения (6*); кривая-В - правую часть уравнения (7*), или, что то же самое, уравнения (7**) ; кривая-Г - правую часть уравнения (8*) ; кривая-Д - правую часть уравнения (9*). Может случиться, что кривая спроса Я(у) имеет такой вид, что уравнение (9) не имеет положительных вещественных корней; тогда пересечения кривых А и Д нет и точка у* не существует.

Отметим, что возможны только варианты пересечения, показанные на рис. 1а и 1б , поскольку для всех рассматри­ваемых здесь случаев в точках пересечения тангенс угла наклона кривой А больше, чем у кривых Б, В, Г и Д . Последнее утверждение можно доказать следующим образом.

Введём функцию а (у, Я(у)) , представляющую собой любую из функций В0_д, у), О(у), С(у) и

(у), заданных выражениями (3) - (6). Её производную по цене у можно представить в виде

^—а( ^^У)) _ [ ^ + в( уЛ (У))М У,« (У)),

—У               —у

где в (у, Я(у)) > 0 и у (у, Я(у)) > 0; при этом функция в (у, Я(у)) представляет собой правые части уравнений (6*) - (9*). Легко видетъ, что в актуальной области цен величина в(у, Я(у)) является монотонно убывающей функцией цены у .

Рис■ !■ Графическое решение уравнений (6) - (9)^

Функция а (у, Я(у)) достигает максимума в точке у_а* , являющейся единственным вещественным, положительным

dR

корнем уравнения —+ в(УЖУ)) _ 0. Вторая производная

—У

функции а (у, Я(у)) в экстремальной точке у_а* может быть представлена так:

_ /(у^(у)) ^—([^ + в(y,R(У))]}

—У —у

Поскольку экстремальная цена у_а* является точкой максимума,

мы имеем в этой точке:

^а(У» < 0 , или — ₍- ™₎ > ^—в(У-*<У)).

—у                                     —у —у                       —у

 

« Содержание

» следующая страница »
1  ... 106 107 108 109 110 111112 113