Если же эти различия конкретизировать, то мы приходим к другому классу задач, аналогичных по своей форме классическим задачам оценки параметров. Аналогия здесь опять же чисто внешняя, так как о параметрах распределения в обычном смысле говорить нельзя, поскольку класс распределения непараметричен, т.е. фактически оценивается не параметр распределения, а параметр различия между распределениями внутри заданного непараметрического класса.
Параметр различия может быть определен через известный функционал от неизвестного распределения. К настоящему времени известны следующие основные оценки таких функционалов:
оцениваемый параметр известным образом связан с квантилями; оцениваемый параметр выражается как математическое ожидание известной функции по неизвестному распределению;
параметр известным образом входит в неизвестное распределение; параметр есть нелинейный интегральный функционал (типа энтропии).
Третья категория непараметрических задач - проверка непараметрических гипотез.
Любая задача проверки непараметрических гипотез выглядит следующим образом. Из двух конкурирующих гипотез альтернатива всегда непараметрична, а нулевая гипотеза может быть либо простой, либо непараметрической. Поскольку, по крайней мере, одна гипотеза есть класс неизвестных распределений, различие между гипотезами задается в некотором общем виде, не связанном с конкретным видом функции распределения.
Требуется предложить процедуру (тест), результатом которой явилось бы решение об истинности одной из гипотез на основании предъявленной выборки (или нескольких выборок - при многовыборочных задачах).
Последний класс непараметрических задач в настоящее время наиболее развит и широко используется на практике. Поэтому перечислим основные непараметрические задачи проверки гипотез, чтобы продемонстрировать, как именно задаются гипотезы и различия между ними [15].
1. Задача согласия. Пусть задано известное непрерывное распределение Д(х). Из неизвестного распределения в(х), принадлежащего классу всех остальных распределений, берется выборка х1, х2,..., хп.
Конкурирующие гипотезы:
нулевая гипотеза Н0 : Д = О простая гипотеза;
альтернатива:
односторонние гипотезы;
а) Н+ : Д < в
б) Н+ : Д < в
в) Н1 : Д Ф О - двусторонняя гипотеза.
Как видим, нулевая гипотеза проста, альтернатива в любом из вариантов непараметрична, различие между ними задается односторонним или простым неравенством между Д и О.
2. Задача сдвига (расположения). Иногда известно, что интересующий нас фактор приводит к сдвигу распределения в ту или иную сторону. Направление сдвига может быть известным или неизвестным. В таких обстоятельствах возникает задача обнаружения или локализации. В простейшей постановке задача расположения формулируется в том случае, когда известно, что альтернатива сводится только к сдвигу, т.е.
Д (X е) = (х -0),
где 0 - параметр сдвига.
Нулевая гипотеза Н0:0 = 0 .
Альтернатива:
а) Н': 0 > 0 1
г - односторонние гипотезы;
б) Щ: 0 < 0 ]
в) Н1 : 0 Ф 0 - двусторонняя гипотеза.
В других случаях может быть не известно, проявляется ли влияние исследуемого фактора только в сдвиге, но известно, что сдвиг может иметь место.
Поскольку распределения неизвестны, среди них иногда могут встретиться и не имеющие моментов (по которым можно было бы судить о сдвиге); поэтому естественной мерой сдвига являются квантили того или иного уровня р. Возможны следующие варианты задачи сдвига.
Нулевая гипотеза Н* : Е_1(р) = хр .
Альтернатива:
односторонние гипотезы;
а) Н[: Е-1(р) > Хр
б) Щ: Е-1(р) < Хр
в) Н1 :. Е _1( р) ф Хр - двусторонняя гипотеза.
» следующая страница »
1 ... 18 19 20 21 22 2324 25 26 27 28 ... 30